期权二叉树估值与图计算

2024-07-13 16:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

传统期权二叉树的算法都是基于数组的，对于没有编程基础的人来说非常不直观。二叉树是一种特殊的图，可以用python networkx这个图算法库实现，这个库不仅包含常用的图算法，还包含简单的绘图功能，非常适合研究分析使用。

def binarytree_europtionfull(S,K,r,q,sigma,t,steps,op_type): u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps)) d=1/u P=(np.exp((r-q)*t/steps)-d)/(u-d) #二叉完全树 G=nx.full_rary_tree(2,2**(steps+1)-1) G.nodes[0]['price']=S #正推过程 for (parent,children) in nx.bfs_successors(G,0): #print(parent,children) G.nodes[children[0]]['price']=G.nodes[parent]['price']*d; G.nodes[children[1]]['price']=G.nodes[parent]['price']*u; #对最后一天到期日计算所有情况下的payoff for i in nx.descendants_at_distance(G,0,steps): G.nodes[i]['opt_val']=np.maximum(G.nodes[i]['price']-K,0) #倒推过程 for (parent,children) in reversed(list(nx.bfs_successors(G,0))): G.nodes[parent]['opt_val']=((1-P)*G.nodes[children[0]]['opt_val']+(P)*G.nodes[children[1]]['opt_val'])*np.exp(-r*t/steps) #print(node) dat=G.nodes.data() #生成图形显示，可注释掉。 pos = graphviz_layout(G, prog="dot") nx.draw(G, pos, labels={k:"price: %.2f\n opt_val:%.2f"%(v['price'],v['opt_val']) for (k,v) in dat},with_labels=True) plt.show() return G.nodes[0]['opt_val']

直接用二叉树空间复杂度为 $2^{n}$ ，呈指数增长。我们注意到，对于中间的节点，其实有一些是相等的，因为对于一支标的价格，S*u*d=S*d*u，所以我们可以将这些节点合并，这就是网格模式。

def binarytree_europtionLattice(S,K,r,q,sigma,t,steps,op_type): u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps)) d=1/u P=(np.exp((r-q)*t/steps)-d)/(u-d) G = nx.Graph() G.add_node(0) G.nodes[0]['price']=S cnt=0 for i in range(steps): for j in range(i+1): #print(j,i,cnt,cnt+i+1,cnt+i+2) G.add_edge(cnt,cnt+i+1) G.add_edge(cnt,cnt+i+2) cnt+=1 #正推过程 for (parent,children) in nx.bfs_successors(G,0): if len(children)==2: G.nodes[children[0]]['price']=G.nodes[parent]['price']*d; G.nodes[children[-1]]['price']=G.nodes[parent]['price']*u; #对最后一天到期日计算所有情况下的payoff， for i in nx.descendants_at_distance(G,0,steps): G.nodes[i]['opt_val']=np.maximum(G.nodes[i]['price']-K,0) #倒推过程 for (parent,children) in reversed(list(nx.bfs_successors(G,0))): G.nodes[parent]['opt_val']=((1-P)*G.nodes[children[-1]-1]['opt_val']+(P)*G.nodes[children[-1]]['opt_val'])*np.exp(-r*t/steps) #生成图形显示，可注释掉。 pos = graphviz_layout(G, prog="dot") nx.draw(G, pos, labels={k:"price: %.2f\n opt_val:%.2f"%(v['price'],v['opt_val']) for (k,v) in dat},with_labels=True) plt.show() return G.nodes[0]['opt_val']

那么在这个基础上我们就可以实现美式看跌期权的二叉树定价

def binarytree_america_lattice(S,K,r,q,sigma,t,steps): u=math.exp(sigma*math.sqrt(t/steps)) d=1/u P=(math.exp((r-q)*t/steps)-d)/(u-d) G = nx.Graph() G.add_node(0) G.nodes[0]['price']=S cnt=0 for i in range(steps): for j in range(i+1): G.add_edge(cnt,cnt+i+1) G.add_edge(cnt,cnt+i+2) cnt+=1 #正推过程， for (parent,children) in nx.bfs_successors(G,0): #如需查看，可注掉下行 #print(parent,children) if len(children)==2: G.nodes[children[0]]['price']=G.nodes[parent]['price']*d; G.nodes[children[-1]]['price']=G.nodes[parent]['price']*u; #对最后一天到期日计算所有情况下的payoff。descendants_at_distance(G,source,distance)返回距离起点source指定距离distance所有的节点。 for i in nx.descendants_at_distance(G,0,steps): G.nodes[i]['c_value']=max(K-G.nodes[i]['price'],0) #倒推过程，bfs_successors返回一个生成器，只能向下遍历，所以我们需要将其变为一个倒序的列表。 for (parent,children) in reversed(list(nx.bfs_successors(G,0))): #由于广度遍历的特点，children在每层开始是两个，其他情况都是一个，这里我们使用-1下标取倒数第一个，这样总是可以取到上涨分支。而children[-1]-1总是下跌分支。 G.nodes[parent]['c_value']=max(((1-P)*G.nodes[children[-1]-1]['c_value']+(P)*G.nodes[children[-1]]['c_value'])*math.exp(-r*t/steps),K-G.nodes[parent]['price']) #生成图形显示，可注释掉。 dat=G.nodes.data() pos = graphviz_layout(G, prog="dot") #price是价格，exe代表行权的payoff，c_value代表期权价格 nx.draw(G, pos, labels={k:"price: %.2f\nexe: %.2f\n c_value:%.2f"%(v['price'],max(K-v['price'],0),v['c_value']) for (k,v) in dat},with_labels=True) #nx.draw_networkx_labels(G, pos, labels=price) plt.show() return G.nodes[0]['c_value'] D=binarytree_america_lattice(S=29,K=30,r=0.03,q=0,sigma=0.25,t=1,steps=2)

生成的图片如下，其中exe为立即行权的payoff

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